Ցուցչային ֆունկցիա

Ցուցչային ֆունկցիա կոչվում է f(x)=ax  ֆունկցիան, որտեղ a-ն 1-ից տարբեր դրական թիվ է:

Ցուցչային ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները.
1. Ֆունկցիայի որոշման տիրույթն է իրական թվերի բազմությունը`  D(f)=(- ∞; ∞):
2. Ֆունկցիան դրական է ամբողջ թվային առանցքի վրա:
3. Ֆունկցիան մոնոտոն է ամբողջ թվային առանցքի վրա: Ընդ որում, այն աճող է, եթե a>1 և նվազող, եթե a<1:
4. Ֆունկցիայի արժեքների բազմությունն է դրական կիսաառանցքը՝ E(f)= (0; ∞):
5. Ֆունկցիան չունի զրոներ, մեծագույն և փոքրագույն արժեքներ:
6. Ֆունկցիայի գրաֆիկը հատում է օրդինատների առանցքը՝ (0,1) կետում, քանի որ a=1:
a>1 դեպքում f(x)=ax ֆունկցիայի հատկությունները.

1. Որոշման տիրույթը իրական թվերի բազմությունն է՝ D(f)= (-∞;∞):
   2. Ֆունկցիան դրական է ամբողջ թվային առանցքի վրա:
   3. Ֆունկցիան աճող է:
   4. Արժեքների բազմությունն է դրական կիսաառանցքը՝ E(f)= (0; ∞):
   5. Չունի զրոներ, մեծագույն և փոքրագույն արժեքներ:

0<a<1 դեպքում f(x)=ax ֆունկցիայի հատկությունները.

1. Որոշման տիրույթը իրական թվերի բազմությունն է՝ D(f)= (-∞;∞):
   2. Ֆունկցիան դրական է ամբողջ թվային առանցքի վրա:
   3. Ֆունկցիան նվազող է:
   4. Ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը դրական կիսաառանցքն է՝ E(f)= (0; ∞):
   5. Չունի զրոներ, մեծագույն և փոքրագույն արժեքներ

Նախագիծ 2. Իրական թվեր

Սովորական և տասնորդական կոտորակներ

Կոտորակները լինում են տասնորդական և սովորական։ Սովորական կոչվում են հարաբերություն ցույց տվող կոտորակները՝ 1/6, 5/9, և այլն։ Իսկ տասնորդական՝ ստորակետով գրվող թվերը՝ 5.8, 2.5, 9.4, և այլն։

Սովորական կոտորակները իրենց հերթին բաժանվում են երկու խմբի՝ կանոնավոր և անկանոն։ Կոտորակը կոչվում է կանոնավոր, եթե նրա համարիչը փոքր է հայտարարից և անկանոն, եթե համարիչը մեծ կամ հավասար է հայտարարից։

Սովորական կոտորակների համեմատումը

Նախ պետք է ստուգել կոտորակների նշանները, եթե դրանք տարբեր են, ապա դրական նշանով կոտորակը ավելի մեծ է։ Եթե նույն նշանի են, ապա պետք է նրանց բերել ընդհանուր հայտարարի։ Թվերը շատ չմեծացնելու համար պետք է որպես ընդհանուր հայտարար ընտրել այդ կոտորակների հայտարարների ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը։ Երբ կոտորակները արդեն բերված են ընդհանուր հայտարարի համեմատում ենք համարիչները՝ մեծ հայտարարով կոտորակը ավելի մեծ է (բացասական կոտորակների դեպքում հակառակը)։

Տասնորդական կոտորակների համեմատումը

Նախ պետք է ստուգել կոտորակների նշանները, եթե դրանք տարբեր են, ապա դրական նշանով կոտորակը ավելի մեծ է։ Եթե նույն նշանի են, ապա նախ համեմատում ենք նրանց ամբողջ մասերը։ Մեծ ամբողջ մաս ունեցող կոտորակը ավելի մեծ է (բացասական կոտորակների դեպքում հակառակը)։ Եթե դրանք հավասար են, ապա համեմատում ենք նրանց կոտորակային մասերը (ստորակետից աջ)։ Մեծ կոտորակային մաս ունեցող կոտորակը ավելի մեծ է (բացասական կոտորակների դեպքում հակառակը)։

Կլորացումը

Տասնորդական կոտորակը կլորացնելու 3 եղանակ կա՝ վերև, ներքև, համեմատական։
Տասնորդական կոտորակը վերև կլորացնելու համար՝ նրա ամբողջ մասին գումարում ենք 1։
Ներքև կլորացնելու համար՝ ամբողջ մասից հանում ենք 1։
Տասնորդական կոտորակը համեմատական կլորացնելու համար՝ նայում ենք նրա կոտորակային մասին, եթե ամենաբարձր կարգում գրված թիվը փոքր է 5-ից ապա կլորացնում ենք ներքև, եթե մեծ կամ հավասար է 5, ապա կլորացնում ենք վերև։

Թվի մաս և տոկոս

Թվի մաս հաշվելը թվի բազմապատկման գործողությունն է այլ իմաստով։ Օրինակ՝ a թվի b մասը հաշվելու համար պետք է պարզապես հաշվել a*b արտահայտության արժեքը։

Իրականում տոկոս հասկացությունը մաթեմատիկայի մաս չի կազմում, այն պարզապես հին ժամանակներից եկած հաշվարկման մեթոդ է։ Տոկոսից մաս անցումը մեկ քայլ է, պետք է տրված թիվը մաժանել 100-ի և ստանալ մաս արտահայտող թիվ։ Օրինակ՝ թվի 20%-ը թվի 0.2 մասն է։

Չափումներ կատարելու համար առօրյա կյանքում օգտագործում ենք չափման միավորներ։ Դրանցից են՝

Երկարություն- միլիմետր, սանտիմետր, մետր, կիլոմետր․․․
Զանգված- միլիգրամ, գրամ, կիլոգրամ, ցենտներ, տոննա․․․
Մակերես- միլիմետր քառակուսի, սանտիմետր քառակուսի, մետր քառակուսի, հեկտար, ար․․․
Ժամանակ- վայրկյան, րոպե, ժամ, օր, ամիս, տարի․․․
Արագություն- կիլոմետր/ժամ կմ/ժ, մետր/վայրկյան մ/վ․․․

Բացասական թվեր

Բացասական թվերը թվային ուղղի վրա 0-ից ձախ գտնվող թվերն են։ Դրանց գրագրության մեջ սկզբում դրվում է «-» նշանը։

Թվի հակադիրը թվային ուղղի վրա նրա համաչափն է 0-ի նկատմամբ, գրառման մեջ տարբերությունը «-» նշանն է։

Թվի բացարձակ արժեքը թվի հեռավորությունն է 0-ից, կարող է լինել միայն դրական և արտահայտվում է ոչ բացասական իրական թվերով։

Իրական թվերը կարելի է պատկերել որպես անվերջ երկար ուղիղ` թվային ուղիղ կամ իրական ուղղի կետեր, որտեղ ամբողջ թվերին համապատասխան թվերը ինտերվալներ են: Իրական թվերն են ռացիոնալ և իռացիոնալ թվերը:

Յուրաքանչյուր իրական թիվ կարող է որոշվել հնարավոր անվերջ տասնորդական ներկայացմամբ, որտեղ յուրաքանչյուր հաջորդ թվանշանը չափվում է նախորդից մեկ տասնորդականով տարբերվող միավորներով։
Իրական թվերի բազմությունը նշանակում են R տառով: Դրական տասնորդական կոտորակները, հատվածների երկարությունները բացասական տասնորդական կոտորակները և զրոն կազմում են իրական թվերի բազմությունը: Օր. 0, 18,25 և -25,31:

Ռացիոնալ թվերը դրանք m/n տեսքի թվերն են, որտեղ m € Z իսկ n € N…
Ռացիոնալ թվերը ներկայացվում են սովորական կոտորակի՝ m/n տեսքով, որտեղ համարիչը ամբողջ թիվ է, իսկ հայտարարը՝ բնական թիվ, օրինակ՝1/3։
Կոտորակի հասկացությունը առաջացել է մի քանի հազարամյակ առաջ,  իրերի երկարության, զանգվածի, մակերեսի չափման համար։ Մարդիկ հասկացան, որ միայն ամբողջ թվերը բավարար չեն և անհրաժեշտ է մասի հասկացություն՝ կեսի, երրորդի և այլն։Ռացիոնալ թվերի բազմությունը նշանակվում է Q տառով(լատիներեն՝ Quotient-քանորդ բառից): Օր. 5/8, -2/3 և այլն:

Իռացիոնալ թիվը իրական թիվ է, որը ռացիոնալ չէ, այսինքն, այն հնարավոր չէ ներկայացնել m/n կոտորակի տեսքով, որտեղ m-ը ամբողջ թիվ է, իսկ n-ը՝ բնական թիվ։ Իռացիոնալ թիվը կարող է ներկայացվել անվերջ, ոչ պարբերական տասնորդական կոտորակի տեսքով։ Իռացիոնալ թվեր են նաև արմատով թվերը՝Օր. √15, √2։
Իռացիոնալ թվերի բազմությունը նշանակում են լատինական I մեծատառով։
Միայն իռացիոնալ թվերը կարող են ներկայացվել անվերջ տասնորդական կոտորակի տեսքով: Իռացիոնալ թվերի բազմությունը թվային առանցքի վրա միշտ խիտ է, այսինքն,ցանկացած երկու թվերի միջև գոյություն ունի իռացիոնալ թիվ: Իռացիոնալ թվերի բազմությունը անհաշվելի է:

Նախագիծ 1. Բնական թվեր

Այն թվերը, որոնք օգտագործվում են առարկաներ հաշվելիս, անվանում են բնական թվեր: Ցանկացած բնական թիվ կարելի է գրել տասը թվանշանների միջոցով` 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9: Թվերի այսպիսի գրառումն անվանում են տասնորդական: Թվանշանի արժեքը թվի այդպիսի գրառման մեջ կախված է այն բանից, թե ինչ տեղ է այն զբաղեցնեւմ: Եթե 4 թվանշանը գրված է վերջում, ապա այն նշանակում է չորս միավոր, եթե նախավերջում` չորս տասնյակ, եթե վերջից երրորդ տեղում` ապա չորս հարյուրյակ և այլն:

Թվանշաններով գրված թիվը կարդալու համար այն, սկսած աջից, տրոհում են խմբերի, յուրաքանչյուրում երեք թվանշան, և, սկսելով ձախից, հերթականությամբ անվանում են յուրաքանչյուր դասի միավորների թիվը, ավելացնելով նրա անվանումը: Աջից առաջին երեք թվանշանները կազմում են միավորների դասը, հաջորդ երեքը` հազարավորների դասը: Այնուհետև գալիս են միլիոնավորների, միլիարդավորների դասերը և այլն: Միլիարդավորներին հաջորդող դասերը հազվադեպ են օգտագործվում:

Բնական թվերի բազմության մեջ կատարվելիք գործողություններից երկուսի դեպքում ստացվում էավելի մեծ բնական թիվ:

Դրանք են`

1.Գումարումը:

Օրինակ`

ա. 265+348=613

բ. 21537+51589=73126

Գումարման տեղափոխական օրենք. Գումարելիների տեղափոխությունից  գումարը  չի փոխվում:
Օրինակ`    100+44=44+100

Գումարման զուգորդական օրենք. եթե երկու թվերի գումարին գումարվում է  երրորդ թիվը,արդյունքը հավասար կլինի այն թվին,որը ստացվում է ,եթե առաջին թվին գումարվում է երկրորդ և երրորդ թվերի գումարը:
Օրինակ`   (2+6)+4=2+(6+4)

2. Բազմապատկումը:
   Օրինակ`

ա.21x 25=525

բ.26×26=676

Բազմապատկման տեղափոխական օրենք. Արտադրիչների տեղերը փոխելիս արտադրյալը չի փոխվում:
Օրինակ` 3×5=5×3

Բազմապատկման զուգորդական օրենք. Երկու թվերի արտադրյալը երրորդ  թվով բազմապատկելու արդյունքը կարելի է ստանալ` առաջին թիվը  երկրորդ և երրորդ թվերի արտադրյալով բազմատկելով:
Օրինակ`   (4×3)x2=4x(3×2)

Բազմապատկման բաշխական օրենք գումարման նկատմամբ. Որևէ թիվ երկու թվերի գումարով բազմապատկելու արդյունքը կարելի է ստանալ` թիվը բազմապատկելով յուրաքանչյուր գումարելիով և ստացված թվերը գումարելով իրար:
Օրինակ` 6x(3+5)=6×3+6×5

Բազմապատկման բաշխական օրենք հանման նկատմամբ. Որևէ թվի և տարբերության արտադրյալը հավասար է այդ թվի և նվազելիի արտադրյալի և այդ թվի ու հանելիի արտադրյալի տարբերությանը:
Օրինակ` 3x(25-16)=3×25-3×16

Ի տարբերություն գումարման և բազմապատկման` մյուս երկու  գործողությունների դեպքում պարտադիր չէ, որ ստացված արդյունքը բնական թիվ լինի:

Դրանք են՝

3.Հանումը: Օրինակ`

ա. 200-356=-156

բ. 40000-23545=16455

4.Բաժանումը: Օրինակ`

ա.245÷5=49

բ.125÷100=1.25

Բաժանման հատկությունները`                                                                                                 1.Եթե երկու բնական թվերից յուրաքանչյուրը բաժանվում է մի բնական թվի,ապա նրանց գումարը նույնպես բաժանվում է այդ թվին, և ստացված քանորդը հավասար է գումարելիների բաժանումից ստացվող քանորդների  գումարին:
Օրինակ` 15÷5=3     10÷5=2

25÷5=5          3÷2=5

2.Եթե երկու բնական թվերից որևէ մեկը բաժանվում է մի ուրիշ բնական թվի, ապա նրանց արտադրյալը նույնպես կբաժանվի այդ թվին, ընդ որում այդ բաժանման քանորդը  հավասար կլինի առաջին թվի բաժանումից ստացվող  քանորդի և երկրորդ թվի արտադրյալին: Օրինակ` դիտարկենք 18 և 5թվերը
18÷3=6

18×5=90

90÷3=30

5×6=30

Բնական թիվը կոչվում է պարզ, եթե այն ունի միայն երկու բնական բաժանարար՝ մեկը և ինքը՝ այդ թիվը:
Բնական թիվը կոչվում է բաղադրյալ, եթե այն ունի երկուսից ավելի բնական բաժանարարներ:
1 թիվն ունի միայն մեկ բնական բաժանարար՝ հենց ինքը, ուստի այն չի համարվում ոչ բաղադրյալ և ոչ էլ պարզ թիվ:

Բաժանելիության հայտանիշներ

Եթե  և  երկու ամբողջ թվերի համար գոյություն ունի այնպիսի  թիվ, որ , ապա ասում են, որ  թիվը բաժանվում է  թվի վրա։

Թիվը բաժանվում է 2- ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ նրա վերջին թվանշանը բաժանվում է 2-ի, այսինքն՝ զույգ է։

Թիվը բաժանվում է 3-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ նրա թվանշանների գումարը բաժանվում ՝ 3-ի վրա։

Թիվը բաժանվում է 4-ի վրա, երբ վերջին երկու թվանշանները 0-ներ են կամ կազմում են 4-ի վրա բաժանվող թիվ։

Թիվը բաժանվում է 5-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ նրա վերջին թվանշանը բաժանվում է 5-ի վրա:

Թիվը բաժանվում է 7 -ի, երբ տասնավորի եռապատիկի և միավորի գումարը բաժանվում է 7-ի։

Թիվը բաժանվում է 8-ի, երբ նրա գրառման մեջ վերջին երեք թվանշանները զրոներ են կամ կազմում են 8-ի բաժանվող թիվ։

Թիվը բաժանվում է 11-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ կենտ համարներով դիրքերում գրված թվերի գումարի և զույգ համարներով դիրքերում գրված թվերի գումարի տարբերության մոդուլը բաժանվում է 11-ի։

Թիվը բաժանվում է 13-ի վրա, երբ տասնյակների և միավորների քառապատիկի գումարը բաժանվում է 13- ի վրա։

Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար

Ամենամեծ բնական թիվը, որի վրա բաժանվում են տրված թվերից յուրաքանչյուրը, կոչվում է այդ թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար:
Գտնենք 24 և 35 թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը: 24 թվի բաժանարարները կլինեն 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24: 35 թվի բաժանարարները կլինեն 1, 5, 7, 35 թվերը: Տեսնում ենք, որ 24 և 35 թվերն ունեն միայն մեկ ընդհանուր բաժանարար՝ 1 թիվը: Բնական թվերը, որոնց ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը հավասար է 1-ի, անվանում են փոխադարձ պարզ թվեր:

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկ

Ամենափոքր բնական թիվը, որը բաժանվում է տրված բնական թվերից յուրաքանչյուրի վրա, կոչվում է թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկ:
Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը կարելի է գտնել վերլուծելով թվերը պարզ արտադրիչների: Դիցուք, օրինակ, պետք է գտնել 378 և 360 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը: Վերլուծենք այդ թվերից յուրաքանչյուրը պարզ արտադրիչների՝

378 = 2 * 33 * 7,
360 = 23 * 32 * 5:

Թվի վերլուծությունում, որը 378 և 360 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկն է, պետք է պարունակվի ինցպես 360 թվի վերլուծությունը, այնպես էլ 378 թվի վերլուծությունը: Ուրեմն, պետք է դուրս գրել բոլոր պարզ արտադրիչները, որոնք մտնում են այդ վերլուծություններից մեկի մեջ, և լրացնել այն պակասող արտադրիչով մյուս վերլուծությունից: Եթե ինչ-որ պարզ արտադրիչ մտնում է երկու վերլուծություններում, ապա այն վերցվում է մեծագույն ցուցիչով: 2 թիվը մտնում է երկու վերլուծություններում. մեկում 1 ցուցիչով, իսկ մյուսում՝ 3 ցուցիչով: Ուստի այն պետք է վերցնել 3 ցուցիչով: Բացի 23 արտադրիչից, թվի վերլուծությունում, որը 378 և 360 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկն է, պետք է մտնեն 33, 5 և 7 արտադրիչները: Այստեղից՝

23 * 32 * 5 * 7 = 7560:

Այսպես, 378 և 360 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը 7560 թիվն է: