Նախագիծ 2. Իրական թվեր

Սովորական և տասնորդական կոտորակներ

Կոտորակները լինում են տասնորդական և սովորական։ Սովորական կոչվում են հարաբերություն ցույց տվող կոտորակները՝ 1/6, 5/9, և այլն։ Իսկ տասնորդական՝ ստորակետով գրվող թվերը՝ 5.8, 2.5, 9.4, և այլն։

Սովորական կոտորակները իրենց հերթին բաժանվում են երկու խմբի՝ կանոնավոր և անկանոն։ Կոտորակը կոչվում է կանոնավոր, եթե նրա համարիչը փոքր է հայտարարից և անկանոն, եթե համարիչը մեծ կամ հավասար է հայտարարից։

Սովորական կոտորակների համեմատումը

Նախ պետք է ստուգել կոտորակների նշանները, եթե դրանք տարբեր են, ապա դրական նշանով կոտորակը ավելի մեծ է։ Եթե նույն նշանի են, ապա պետք է նրանց բերել ընդհանուր հայտարարի։ Թվերը շատ չմեծացնելու համար պետք է որպես ընդհանուր հայտարար ընտրել այդ կոտորակների հայտարարների ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը։ Երբ կոտորակները արդեն բերված են ընդհանուր հայտարարի համեմատում ենք համարիչները՝ մեծ հայտարարով կոտորակը ավելի մեծ է (բացասական կոտորակների դեպքում հակառակը)։

Տասնորդական կոտորակների համեմատումը

Նախ պետք է ստուգել կոտորակների նշանները, եթե դրանք տարբեր են, ապա դրական նշանով կոտորակը ավելի մեծ է։ Եթե նույն նշանի են, ապա նախ համեմատում ենք նրանց ամբողջ մասերը։ Մեծ ամբողջ մաս ունեցող կոտորակը ավելի մեծ է (բացասական կոտորակների դեպքում հակառակը)։ Եթե դրանք հավասար են, ապա համեմատում ենք նրանց կոտորակային մասերը (ստորակետից աջ)։ Մեծ կոտորակային մաս ունեցող կոտորակը ավելի մեծ է (բացասական կոտորակների դեպքում հակառակը)։

Կլորացումը

Տասնորդական կոտորակը կլորացնելու 3 եղանակ կա՝ վերև, ներքև, համեմատական։
Տասնորդական կոտորակը վերև կլորացնելու համար՝ նրա ամբողջ մասին գումարում ենք 1։
Ներքև կլորացնելու համար՝ ամբողջ մասից հանում ենք 1։
Տասնորդական կոտորակը համեմատական կլորացնելու համար՝ նայում ենք նրա կոտորակային մասին, եթե ամենաբարձր կարգում գրված թիվը փոքր է 5-ից ապա կլորացնում ենք ներքև, եթե մեծ կամ հավասար է 5, ապա կլորացնում ենք վերև։

Թվի մաս և տոկոս

Թվի մաս հաշվելը թվի բազմապատկման գործողությունն է այլ իմաստով։ Օրինակ՝ a թվի b մասը հաշվելու համար պետք է պարզապես հաշվել a*b արտահայտության արժեքը։

Իրականում տոկոս հասկացությունը մաթեմատիկայի մաս չի կազմում, այն պարզապես հին ժամանակներից եկած հաշվարկման մեթոդ է։ Տոկոսից մաս անցումը մեկ քայլ է, պետք է տրված թիվը մաժանել 100-ի և ստանալ մաս արտահայտող թիվ։ Օրինակ՝ թվի 20%-ը թվի 0.2 մասն է։

Չափումներ կատարելու համար առօրյա կյանքում օգտագործում ենք չափման միավորներ։ Դրանցից են՝

Երկարություն- միլիմետր, սանտիմետր, մետր, կիլոմետր․․․
Զանգված- միլիգրամ, գրամ, կիլոգրամ, ցենտներ, տոննա․․․
Մակերես- միլիմետր քառակուսի, սանտիմետր քառակուսի, մետր քառակուսի, հեկտար, ար․․․
Ժամանակ- վայրկյան, րոպե, ժամ, օր, ամիս, տարի․․․
Արագություն- կիլոմետր/ժամ կմ/ժ, մետր/վայրկյան մ/վ․․․

Բացասական թվեր

Բացասական թվերը թվային ուղղի վրա 0-ից ձախ գտնվող թվերն են։ Դրանց գրագրության մեջ սկզբում դրվում է «-» նշանը։

Թվի հակադիրը թվային ուղղի վրա նրա համաչափն է 0-ի նկատմամբ, գրառման մեջ տարբերությունը «-» նշանն է։

Թվի բացարձակ արժեքը թվի հեռավորությունն է 0-ից, կարող է լինել միայն դրական և արտահայտվում է ոչ բացասական իրական թվերով։

Իրական թվերը կարելի է պատկերել որպես անվերջ երկար ուղիղ` թվային ուղիղ կամ իրական ուղղի կետեր, որտեղ ամբողջ թվերին համապատասխան թվերը ինտերվալներ են: Իրական թվերն են ռացիոնալ և իռացիոնալ թվերը:

Յուրաքանչյուր իրական թիվ կարող է որոշվել հնարավոր անվերջ տասնորդական ներկայացմամբ, որտեղ յուրաքանչյուր հաջորդ թվանշանը չափվում է նախորդից մեկ տասնորդականով տարբերվող միավորներով։
Իրական թվերի բազմությունը նշանակում են R տառով: Դրական տասնորդական կոտորակները, հատվածների երկարությունները բացասական տասնորդական կոտորակները և զրոն կազմում են իրական թվերի բազմությունը: Օր. 0, 18,25 և -25,31:

Ռացիոնալ թվերը դրանք m/n տեսքի թվերն են, որտեղ m € Z իսկ n € N…
Ռացիոնալ թվերը ներկայացվում են սովորական կոտորակի՝ m/n տեսքով, որտեղ համարիչը ամբողջ թիվ է, իսկ հայտարարը՝ բնական թիվ, օրինակ՝1/3։
Կոտորակի հասկացությունը առաջացել է մի քանի հազարամյակ առաջ,  իրերի երկարության, զանգվածի, մակերեսի չափման համար։ Մարդիկ հասկացան, որ միայն ամբողջ թվերը բավարար չեն և անհրաժեշտ է մասի հասկացություն՝ կեսի, երրորդի և այլն։Ռացիոնալ թվերի բազմությունը նշանակվում է Q տառով(լատիներեն՝ Quotient-քանորդ բառից): Օր. 5/8, -2/3 և այլն:

Իռացիոնալ թիվը իրական թիվ է, որը ռացիոնալ չէ, այսինքն, այն հնարավոր չէ ներկայացնել m/n կոտորակի տեսքով, որտեղ m-ը ամբողջ թիվ է, իսկ n-ը՝ բնական թիվ։ Իռացիոնալ թիվը կարող է ներկայացվել անվերջ, ոչ պարբերական տասնորդական կոտորակի տեսքով։ Իռացիոնալ թվեր են նաև արմատով թվերը՝Օր. √15, √2։
Իռացիոնալ թվերի բազմությունը նշանակում են լատինական I մեծատառով։
Միայն իռացիոնալ թվերը կարող են ներկայացվել անվերջ տասնորդական կոտորակի տեսքով: Իռացիոնալ թվերի բազմությունը թվային առանցքի վրա միշտ խիտ է, այսինքն,ցանկացած երկու թվերի միջև գոյություն ունի իռացիոնալ թիվ: Իռացիոնալ թվերի բազմությունը անհաշվելի է: