Նախագիծ 1. Բնական թվեր

Այն թվերը, որոնք օգտագործվում են առարկաներ հաշվելիս, անվանում են բնական թվեր: Ցանկացած բնական թիվ կարելի է գրել տասը թվանշանների միջոցով` 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9: Թվերի այսպիսի գրառումն անվանում են տասնորդական: Թվանշանի արժեքը թվի այդպիսի գրառման մեջ կախված է այն բանից, թե ինչ տեղ է այն զբաղեցնեւմ: Եթե 4 թվանշանը գրված է վերջում, ապա այն նշանակում է չորս միավոր, եթե նախավերջում` չորս տասնյակ, եթե վերջից երրորդ տեղում` ապա չորս հարյուրյակ և այլն:

Թվանշաններով գրված թիվը կարդալու համար այն, սկսած աջից, տրոհում են խմբերի, յուրաքանչյուրում երեք թվանշան, և, սկսելով ձախից, հերթականությամբ անվանում են յուրաքանչյուր դասի միավորների թիվը, ավելացնելով նրա անվանումը: Աջից առաջին երեք թվանշանները կազմում են միավորների դասը, հաջորդ երեքը` հազարավորների դասը: Այնուհետև գալիս են միլիոնավորների, միլիարդավորների դասերը և այլն: Միլիարդավորներին հաջորդող դասերը հազվադեպ են օգտագործվում:

Բնական թվերի բազմության մեջ կատարվելիք գործողություններից երկուսի դեպքում ստացվում էավելի մեծ բնական թիվ:

Դրանք են`

1.Գումարումը:

Օրինակ`

ա. 265+348=613

բ. 21537+51589=73126

Գումարման տեղափոխական օրենք. Գումարելիների տեղափոխությունից  գումարը  չի փոխվում:
Օրինակ`    100+44=44+100

Գումարման զուգորդական օրենք. եթե երկու թվերի գումարին գումարվում է  երրորդ թիվը,արդյունքը հավասար կլինի այն թվին,որը ստացվում է ,եթե առաջին թվին գումարվում է երկրորդ և երրորդ թվերի գումարը:
Օրինակ`   (2+6)+4=2+(6+4)

2. Բազմապատկումը:
   Օրինակ`

ա.21x 25=525

բ.26×26=676

Բազմապատկման տեղափոխական օրենք. Արտադրիչների տեղերը փոխելիս արտադրյալը չի փոխվում:
Օրինակ` 3×5=5×3

Բազմապատկման զուգորդական օրենք. Երկու թվերի արտադրյալը երրորդ  թվով բազմապատկելու արդյունքը կարելի է ստանալ` առաջին թիվը  երկրորդ և երրորդ թվերի արտադրյալով բազմատկելով:
Օրինակ`   (4×3)x2=4x(3×2)

Բազմապատկման բաշխական օրենք գումարման նկատմամբ. Որևէ թիվ երկու թվերի գումարով բազմապատկելու արդյունքը կարելի է ստանալ` թիվը բազմապատկելով յուրաքանչյուր գումարելիով և ստացված թվերը գումարելով իրար:
Օրինակ` 6x(3+5)=6×3+6×5

Բազմապատկման բաշխական օրենք հանման նկատմամբ. Որևէ թվի և տարբերության արտադրյալը հավասար է այդ թվի և նվազելիի արտադրյալի և այդ թվի ու հանելիի արտադրյալի տարբերությանը:
Օրինակ` 3x(25-16)=3×25-3×16

Ի տարբերություն գումարման և բազմապատկման` մյուս երկու  գործողությունների դեպքում պարտադիր չէ, որ ստացված արդյունքը բնական թիվ լինի:

Դրանք են՝

3.Հանումը: Օրինակ`

ա. 200-356=-156

բ. 40000-23545=16455

4.Բաժանումը: Օրինակ`

ա.245÷5=49

բ.125÷100=1.25

Բաժանման հատկությունները`                                                                                                 1.Եթե երկու բնական թվերից յուրաքանչյուրը բաժանվում է մի բնական թվի,ապա նրանց գումարը նույնպես բաժանվում է այդ թվին, և ստացված քանորդը հավասար է գումարելիների բաժանումից ստացվող քանորդների  գումարին:
Օրինակ` 15÷5=3     10÷5=2

25÷5=5          3÷2=5

2.Եթե երկու բնական թվերից որևէ մեկը բաժանվում է մի ուրիշ բնական թվի, ապա նրանց արտադրյալը նույնպես կբաժանվի այդ թվին, ընդ որում այդ բաժանման քանորդը  հավասար կլինի առաջին թվի բաժանումից ստացվող  քանորդի և երկրորդ թվի արտադրյալին: Օրինակ` դիտարկենք 18 և 5թվերը
18÷3=6

18×5=90

90÷3=30

5×6=30

Բնական թիվը կոչվում է պարզ, եթե այն ունի միայն երկու բնական բաժանարար՝ մեկը և ինքը՝ այդ թիվը:
Բնական թիվը կոչվում է բաղադրյալ, եթե այն ունի երկուսից ավելի բնական բաժանարարներ:
1 թիվն ունի միայն մեկ բնական բաժանարար՝ հենց ինքը, ուստի այն չի համարվում ոչ բաղադրյալ և ոչ էլ պարզ թիվ:

Բաժանելիության հայտանիշներ

Եթե  և  երկու ամբողջ թվերի համար գոյություն ունի այնպիսի  թիվ, որ , ապա ասում են, որ  թիվը բաժանվում է  թվի վրա։

Թիվը բաժանվում է 2- ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ նրա վերջին թվանշանը բաժանվում է 2-ի, այսինքն՝ զույգ է։

Թիվը բաժանվում է 3-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ նրա թվանշանների գումարը բաժանվում ՝ 3-ի վրա։

Թիվը բաժանվում է 4-ի վրա, երբ վերջին երկու թվանշանները 0-ներ են կամ կազմում են 4-ի վրա բաժանվող թիվ։

Թիվը բաժանվում է 5-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ նրա վերջին թվանշանը բաժանվում է 5-ի վրա:

Թիվը բաժանվում է 7 -ի, երբ տասնավորի եռապատիկի և միավորի գումարը բաժանվում է 7-ի։

Թիվը բաժանվում է 8-ի, երբ նրա գրառման մեջ վերջին երեք թվանշանները զրոներ են կամ կազմում են 8-ի բաժանվող թիվ։

Թիվը բաժանվում է 11-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ կենտ համարներով դիրքերում գրված թվերի գումարի և զույգ համարներով դիրքերում գրված թվերի գումարի տարբերության մոդուլը բաժանվում է 11-ի։

Թիվը բաժանվում է 13-ի վրա, երբ տասնյակների և միավորների քառապատիկի գումարը բաժանվում է 13- ի վրա։

Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար

Ամենամեծ բնական թիվը, որի վրա բաժանվում են տրված թվերից յուրաքանչյուրը, կոչվում է այդ թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար:
Գտնենք 24 և 35 թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը: 24 թվի բաժանարարները կլինեն 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24: 35 թվի բաժանարարները կլինեն 1, 5, 7, 35 թվերը: Տեսնում ենք, որ 24 և 35 թվերն ունեն միայն մեկ ընդհանուր բաժանարար՝ 1 թիվը: Բնական թվերը, որոնց ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը հավասար է 1-ի, անվանում են փոխադարձ պարզ թվեր:

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկ

Ամենափոքր բնական թիվը, որը բաժանվում է տրված բնական թվերից յուրաքանչյուրի վրա, կոչվում է թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկ:
Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը կարելի է գտնել վերլուծելով թվերը պարզ արտադրիչների: Դիցուք, օրինակ, պետք է գտնել 378 և 360 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը: Վերլուծենք այդ թվերից յուրաքանչյուրը պարզ արտադրիչների՝

378 = 2 * 33 * 7,
360 = 23 * 32 * 5:

Թվի վերլուծությունում, որը 378 և 360 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկն է, պետք է պարունակվի ինցպես 360 թվի վերլուծությունը, այնպես էլ 378 թվի վերլուծությունը: Ուրեմն, պետք է դուրս գրել բոլոր պարզ արտադրիչները, որոնք մտնում են այդ վերլուծություններից մեկի մեջ, և լրացնել այն պակասող արտադրիչով մյուս վերլուծությունից: Եթե ինչ-որ պարզ արտադրիչ մտնում է երկու վերլուծություններում, ապա այն վերցվում է մեծագույն ցուցիչով: 2 թիվը մտնում է երկու վերլուծություններում. մեկում 1 ցուցիչով, իսկ մյուսում՝ 3 ցուցիչով: Ուստի այն պետք է վերցնել 3 ցուցիչով: Բացի 23 արտադրիչից, թվի վերլուծությունում, որը 378 և 360 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկն է, պետք է մտնեն 33, 5 և 7 արտադրիչները: Այստեղից՝

23 * 32 * 5 * 7 = 7560:

Այսպես, 378 և 360 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը 7560 թիվն է: